弗洛伊德算法(弗洛伊德算法是动态规划吗)

1、-算法，-，是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。-算法的时间复杂度为(^3)，空间复杂度为(^2)。

2、算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点到点的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释，这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在，从任意节点到任意节点的最短路径不外乎2种可能，1是直接从到，2是从经过若干个节点到。

3、所以，我们假设(，)为节点到节点的最短路径的距离，对于每一个节点，我们检查(，)+(，)< Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。a. 从任意一条单边路径开始。

4、所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大b. 对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。方法：两条线，从左上角开始计算一直到右下角 如下所示。给出矩阵，其中矩阵A是邻接矩阵，而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点。

5、相应计算方法如下：。核心代码只有 4 行，实在令人赞叹。核心代码只有四行，三行循环，一行更新，的确十分简洁优雅，可是这四行代码为什么就能求出任意两点的最短路径呢。

弗洛伊德算法(弗洛伊德算法是动态规划吗)

1、看代码的特点，很显然特别像是一种动态规划，确实，之前也说过该算法是基于动态规划的。我们从动态规划的角度考虑，解动态规划题目的重点就是合理的定义状态，划分阶段，我们定义 f[k][i][j] 为经过前k的节点，从i到j所能得到的最短路径，f[k][i][j]可以从f[k-1][i][j]转移过来，即不经过第k个节点，也可以从f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j]转移过来，即经过第k个节点。观察一下这个状态的定义，满足不满足最优子结构和无后效性原则。

2、图结构中一个显而易见的定理：。最短路径的子路径仍然是最短路径, 这个定理显而易见，比如一条从a到e的最短路a->->->->那么->->一定是到的最短路->->一定是到的最短路，反过来，如果说一条最短路必须要经过点，那么->的最短路加上->的最短路一定是->经过的最短路，因此，最优子结构可以保证。

3、状态[][][]由[-1][][]，[-1][，]以及[-1][][]转移过来，很容易可以看出，[]的状态完全由[-1]转移过来，只要我们把放倒最外层循环中，就能保证无后效性。满足以上两个要求，我们即证明了算法是正确的。我们最后得出一个状态转移方程：，可以观察到，这个三维的状态转移方程可以使用滚动数组进行优化。采用动态规划思想，表示和之间可以通过编号为1…的节点的最短路径。

4、初值为原图的邻接矩阵。则可以从转移来，表示到不经过这个节点。也可以从转移过来，表示经过这个点。然后你就会发现最外层一维空间可以省略，因为[]只与[-1]有关。

5、虽然这个算法非常简单，但也需要找点时间理解这个算法，就不会再有这种问题啦。算法的本质是，而是的阶段，因此要写最外面。